什么是热门-冷门偏误？

热门-冷门偏误是体育博彩分析中广受研究的一种现象，它存在于众多体育和联赛中。通过热门-冷门偏误，我们知道热门比冷门的赔率提供给博彩玩家的价值更高，不过两者都可能导致损失。

人们常常认为是博彩玩家的不理性导致了这种偏误的出现。博彩玩家喜欢低概率高回报的投注（冷门）。因此冷门被过度投注，而博彩公司则通过降低冷门的赔率来应对。

博彩公司在其中扮演着怎样的角色？

在本文中，我将从博彩公司的视角考虑赔率的设置，由此来研究热门-冷门偏误是否可能是博彩公司的理性之举。博彩公司如何在热门和冷门之间分配抽水？是否存在最优策略？

我们假设博彩公司能完美地预测比赛结果。在一场一对一的胜负比赛中，他们准确地判定出概率为20%和80%。因此，公平赔率为1/0.2 = 5.0和1/0.8 = 1.25。如果博彩公司想要添加3%的抽水，那么他们开出的赔率将落在5.0、1.205（抽水全部加到热门上）和4.35、1.25（抽水全部加到冷门上）之间。就在下方线上的某个位置。

下图显示博彩玩家在该范围内投注在热门或冷门上的预期回报。

如果博彩公司平均分配3%的抽水（每边各1.5%），那么开出的赔率价格将为1.227和4.651。在热门上投注的预期回报为-1.8%，冷门则为-7.0%。这样的抽水分配方式就创造出了赔率中的热门-冷门偏误。 

在预期回报相等的点（线相交处）上，抽水根据真实概率成比例分配。热门中为80%（2.4%），冷门中为20%（0.6%）。如果博彩公司选择这个点右侧的任何赔率组合（价格更低的冷门），就会出现热门-冷门偏误。

也就是说，投注在冷门上的预期回报会低于投注在热门上。下图显示博彩玩家投注在抽水为3%（成比例及平均分配）的赔率上的预期回报。

如果抽水成比例分配，任何赔率上的投注的预期回报都一样，我们不会遭遇热门-冷门偏误。然而如果抽水平均地分配出去，那么我们将遭遇很强的偏误。也就是说，更低隐含概率上的预期回报更低。因此，在不知道博彩公司如何分配抽水的情况下，对于赔率中出现热门-冷门偏误提出的任何理由都是不值一提的。

博彩公司的视角

让我们回到上文中真实概率为20%和80%的例子中，假设博彩玩家一共在热门上投注50%的资金，在冷门上也投注50%的资金。下图中的灰（绿）线显示博彩玩家（博彩公司）的总预期回报。如果资金平均投在热门冷门上，那么博彩公司要实现预期回报最大化，就会将热门的价格定得尽可能地高，而将冷门的价格定得尽可能地低。

那么如何两边的投注资金不相等又会如何？下图显示热门上不同比例的投注会为博彩公司带来的预期回报。比如橘线就是热门冷门上七三分时博彩公司的预期回报。

如果不知道两边投注资金的比例，那么看起来简单地提高热门赔率并降低冷门赔率会对博彩公司有利。只要博彩公司能够吸引高于真实概率（这个例子中是20%）的比例的冷门投注，他们就有动机降低冷门的赔率来增加预期回报。

当我们进行风险调整时会发生什么？

根据产生回报所承担的风险来调整回报是一个金融概念，被称为“风险调整后回报”。承担更多风险需要通过更高的预期回报进行补偿。同样，对于预期回报相等的两个情况，更好的是风险较低的那个。

如果预测不完美，那么在赔率更高的热门上，博彩公司因判断不正确而遭遇的经济损失会更加严重。

假设博彩公司在上述例子中成比例地分配抽水，即将赔率设置为1.21和4.85。我们知道博彩公司在这些赔率上的预期回报都是+2.91%。那么博彩公司更希望哪种情况发生呢？热门上的1,000个投注还是冷门上的1,000个投注？我们来分析一下方差。

我模拟了热门和冷门上一系列的1,000个投注，每个都运行5,000次，并计算出回报的标准差。热门投注的回报标准差为1.5%，冷门则为6.2%。任何理智的博彩公司都毫无疑问会更喜欢热门上的投注，因为风险更低。

如果博彩公司在预期回报相同时更喜欢热门上的投注，那么他们就会提高热门赔率并降低冷门赔率。让他们感到无所谓的那个点就是他们想要设置的赔率。解决这个问题要看每家博彩公司都有多大的胃口来冒险，但是我们可以制出不同抽水分配上的预期回报和标准差的图，以此来理解他们可能做出的决定。

假设赔率为1.220、4.762。博彩公司更喜欢哪个？热门投注（预期回报2.5%，标准差1.6%）还是冷门（预期回报4.8%，标准差 6%）？让我们制出这些价格上5,000次模拟的回报图。

要做出决定并没有那么直截了当。无论如何，在成比例分配的抽水（1.21，4.85）上提高热门价格并降低冷门价格将导致赔率中出现热门-冷门偏误。

现在我们改变一下两边投下的资金比例。使用相同的例子，再次假设博彩公司正确地判定出1,000个独立事件中的概率为20%和80%，而且正在决定将赔率设定为多少（抽水仍为3%）。每个事件上投下一个1个单位的投注，然后计算出博彩公司的总回报。我将这个情境运行了5,000次，热门和冷门上的投注比例不同。下图显示平均回报和回报的标准差。

每一点上方的数字是热门上的投注比例。比如黄线上的点0.5。这一点代表热门上的投注比例为50%时赔率1.23和4.65上的平均回报（4.5%）和标准差（4.3%）。

假设这一点代表博彩公司当前赔率定价策略和投注比例。如果他们更改了赔率，且两边的投注比例相同，那么降低热门赔率（灰线，1.22、4.76）会减少他们的预期回报（减至3.7%）并增加他们的标准差（增至4.4%）。他们不太可能选择这么做。

而降低冷门赔率（淡蓝线，1.235、4.55）会增加预期回报（增至5%）并降低标准差（降至4.25%）。

根据产生回报所承担的风险来调整回报是一个金融概念，被称为“风险调整后回报”。承担更多风险需要通过更高的预期回报进行补偿。

因此，如果每边的投注比例保持稳定，那么从预期回报和风险的角度考虑，博彩公司都有动机降低冷门的赔率。和之前一样，这一点只有在冷门上投注的资金比例超过真实概率（这里为20%）时才成立。

如果博彩玩家对某些价格（赔率）比较敏感会怎样？也就是说，如果赔率上升，那么该结果上的投注资金比例会增加。出发点相同，如果博彩公司决定将热门价格从1.23升至1.24（黄线到绿线，冷门4.65跌至4.44），那么热门上的投注资金比例将会增加。

这一比例从50%增加到62%后，博彩公司的预期回报才可能减少，而在这一范围内博彩公司能享受到标准差降低（4.3%至3.7%）的好处。 

关于热门-冷门偏误，我们了解到了什么？

本文中的分析让我们了解到，从“风险调整后回报”的角度看，博彩公司在提供的赔率中引入热门-冷门偏差常常是理性之举。虽然文中的例子是以博彩公司为完美预测者为基础的，但是放宽这个假设只会加强这个结论。 

如果预测不完美，那么在赔率更高的热门上，博彩公司因判断不正确而遭遇的经济损失会更加严重。对于平博这种拥有大量精明博彩玩家和高投注限额的博彩公司来说尤其如此。

博彩公司在自己的赔率中引入热门-冷门偏误不仅仅是理性之举，这么做还能帮助他们更好地了解客户的投注偏好。

这些信息将帮助他们在设置赔率和分配抽水时进一步优化自身的风险调整后预期回报。无论如何，含有热门-冷门偏误的赔率可能不仅仅是博彩玩家行为和心理偏误的结果。它们同样很有可能是博彩公司进行财务风险管理时做出的理性、明智的决定。不过我认为这通常是两者结合的产物。